在實際的工程應用中，往往會進行大量的數(shù)學運算。運算時除了會用到整數(shù)，很多時候也會用到小數(shù)。而我們知道在數(shù)字電路底層，只有「高電平1」和「低電平0」的存在，那么僅憑 0和1 該如何表示小數(shù)呢？

數(shù)字電路中，小數(shù)可以用兩種形式來表示：「定點數(shù)」和「浮點數(shù)」。浮點數(shù)的內(nèi)容我們下篇文章再講，本文只講定點數(shù)。

什么是定點數(shù)？

首先要明確的是，「定點數(shù)」的說法是相對「浮點數(shù)」來說的。要理解什么是定點數(shù)，可以先從要理解它的名字開始–定是什么？點又是什么？

「定點數(shù)」是英語「fixed-point number」的中文翻譯，fixed的意思是固定的，point的意思是小數(shù)點，所以「定點數(shù)」其實也可以叫「固定小數(shù)點的數(shù)」。同樣的，「浮點數(shù)」自然就是「浮動小數(shù)點的數(shù)」。

在10進制中，小數(shù)的表示是通過小數(shù)點和它所在位置來實現(xiàn)的。比如12.5，它表示的值是十二點五；而1.25則是一點二五。盡管12.5和1.25都用了「1 2 5」這3個數(shù)來表示，但由于小數(shù)點位置的不同，使得前者的數(shù)值是后者的十倍。

遺憾的是，電路只能表示1和0，無法直接表示小數(shù)點，所以上面的方法在電路中是行不通的。

假如你現(xiàn)在收到一條信息「我傳一個小數(shù)過來，10100111」，看到這樣一條信息，你恐怕只會覺得莫名其妙！10100111是哪門子小數(shù)？慢著，10100111如果直接轉(zhuǎn)換成10進制數(shù)就是167，167當然不是小數(shù)，因為它沒有小數(shù)點。但是仔細想想？它真的沒有小數(shù)點嗎？如果把167看做是167.0呢？也就是默認它的小數(shù)點是在最右邊呢？

接著你很快又收到了第二條信息「我再傳一個小數(shù)過來，10100111，它的小數(shù)點在從右往左數(shù)第1位」。這次你終于能看懂了 ，這不就是1010011.1嗎？也就是10進制數(shù)83.5。那么直接說83.5不就完事了嗎？說這么多干嗎？

然后是第三條消息「我再傳一個小數(shù)過來，10100111，它的小數(shù)點在從右往左數(shù)第2位」。這次傳的是101001.11，即10進制數(shù)41.75。

······（省略后面的10086條消息）······

看到這是不是清晰很多了–盡管我們無法直接用小數(shù)點來表示2進制小數(shù)，但可以通過指定小數(shù)點的位置來說明這是一個小數(shù)啊！

約定小數(shù)點的位置，且這個位置固定不變，小數(shù)點前、后的數(shù)字，分別用2進制表示，組合起來就可以用來表示和使用2進制小數(shù)了。用這種方式表示的數(shù)就叫做「定點數(shù)」。

定點數(shù)如何表示數(shù)字？

很容易想到，定點數(shù)除了能表示小數(shù)外，也可以表示整數(shù)。因為你可以把小數(shù)點的位置約定在最右面，這樣其實相當于沒有小數(shù)點，所以表示的都是整數(shù)；同樣的，你也可以把小數(shù)點規(guī)定在最左邊，這樣表示的就是一個整數(shù)部分為0的小數(shù)。

所以定點數(shù)的表示可以分為三種情況：

純整數(shù)

這種情況約定小數(shù)點在最右邊。例如10進制數(shù)85用8位無符號2進制數(shù)表示就是0101_0101，因為小數(shù)點在最右邊，所以可以看做是0101_0101.0 。

純小數(shù)

定點純小數(shù)是指整數(shù)部分為0的小數(shù)。根據(jù)是無符號數(shù)還是有符號數(shù)，分為兩種情況：

（1）無符號數(shù)

無符號數(shù)的最高位不表示符號，僅表示數(shù)值。這種情況約定小數(shù)點的位置在最左邊。例如10進制數(shù)0.125用8位無符號2進制數(shù)表示就是0.0010_0000，因為小數(shù)點在最左邊，所以是0010_0000。

（2）有符號數(shù)

有符號數(shù)的最高位表示符號，不表示數(shù)值。這種情況約定小數(shù)點的位置在次高位。例如10進制數(shù)-0.125用8位無符號2進制數(shù)表示就是1.0010_000，因為小數(shù)點在次高位，所以是1010_0000。

整數(shù) + 小數(shù)

除了純整數(shù)和純小數(shù)這兩種情況外，其實定點數(shù)主要是用來表示 「整數(shù) + 小數(shù)」的情況，例如3.14、1.5、25.125等等。這種情況需要確定以下信息才能正確表示該數(shù)：

• 整數(shù)部分長度

• 小數(shù)部分長度

• 是否有符號位

整數(shù)和小數(shù)的長度之和確定了用多大的電路來表示定點數(shù)，而二者的長度之比則確定了小數(shù)點的位置。符號位則確定了該數(shù)是一個有符號數(shù)還是一個無符號數(shù)。

光說不練云玩家，接下來看幾個例子。

（1）1.25 的定點數(shù)表示

首先約定用無符號數(shù)來表示，然后約定5 位為整數(shù)部分，3 位為小數(shù)部分。所以有：

1.25(D) = 1.01(B) = 00001.010 = 000010101

（2）-9.5 的定點數(shù)表示

首先需要用有符號數(shù)來表示，因為整數(shù)9需要4位來表示，而小數(shù)0.5僅需1位就可表示。為此可以約定5位為整數(shù)部分（注意最高位為符號位），3 位為小數(shù)部分。所以有：

-9.5(D) = 10110.1(B) = 10110.100 = 101101001

定點數(shù)的數(shù)值范圍

定點數(shù)用來表示小數(shù)很方便，但是它也有個很大的問題–它的表示范圍很小。

以5 位表示整數(shù)部分，3 位表示小數(shù)部分的無符號定點數(shù)為例，它的整數(shù)部分可以表示的范圍是00000-11111，即0-31，步長是1；小數(shù)部分的范圍是0.000-0.111，即0-0.875，步長是0.125。綜合起來范圍是0-31.875，步長為0.125。

有符號數(shù)的因為是用補碼表示，所以它的范圍取值比較特殊。以5 位表示整數(shù)部分，3 位表示小數(shù)部分的有符號定點數(shù)為例，它能表示的最小值是10000_000，即-32，它能表示的最大值是01111_111，即15.875。

若以m表示定點數(shù)的整數(shù)位寬（m不包含符號位），以n表示定點數(shù)的小數(shù)位寬，則有符號數(shù)和無符號數(shù)的定點數(shù)的表示范圍為：

如果想表示更大范圍、更高精度的值，怎么辦？

• 擴大整體位寬：比如使用 16位、32位來表示， 這樣相應地整數(shù)部分和小數(shù)部分的寬度都可以增加，自然表示范圍也就變大了。但是位寬的增加，也會帶來更多的硬件開銷

• 改變小數(shù)點的位置：小數(shù)點向后移動，那么整個數(shù)字范圍就會擴大，但是小數(shù)部分的精度就會越來越低。小數(shù)點向前移，表示的精度會變高，但是數(shù)字的表示范圍又會降低。所以說定點數(shù)小數(shù)點位置的確定是一個范圍和精度的trade off（權(quán)衡）

一些定點數(shù)的表示格式

除了可以用類似「以5 位表示整數(shù)部分，3 位表示小數(shù)部分的無符號定點數(shù)」的語言來描述定點數(shù)的格式外，還有多種定點數(shù)的表示格式。常見的有以下幾種：

Q格式（Q notation）

Q格式的一般形式是：

Qm.n

默認情況下，用Q格式描述的都是有符號定點數(shù)。其中m表示整數(shù)部分的長度（這個值不包括符號位），n表示小數(shù)部分的長度。所以用Q格式描述的定點數(shù)的整體長度為：

w = m + n + 1 //整數(shù)部分長度 + 小數(shù)部分長度 + 符號位長度

例如 「 Q3.12 」描述的是一個整體長度為16位的2進制有符號定點數(shù)，它的整數(shù)部分長度是3，而小數(shù)部分長度是12。根據(jù)小數(shù)部分的長度，可以推斷出分辨率為 2^-12。

在Q前面加一個 U 即可用來表示無符號的2進制定點數(shù)。例如 「 UQ1.15」描述的就是一個整數(shù)部分長度為1，小數(shù)部分長度為15的無符號的2進制定點數(shù)。

整數(shù)部分的長度值和小數(shù)點可以被省略，而只描述小數(shù)部分的長度。例如「 Q12 」描述的就是一個小數(shù)部分長度是12的2進制有符號定點數(shù)，但是它的整體長度是不確定的，你可以額外指定整體長度，或者說整體長度就取決于存儲這個定點數(shù)的寄存器。

如果這個定點數(shù)存儲一個16位的寄存器，那它的值就是：

xxxx . xxxx_xxxx_xxxx

如果這個定點數(shù)存儲一個32位的寄存器，那它的值就是：

xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx . xxxx_xxxx_xxxx

其實也可以看出來，這種表示方法就是把它的值乘以 2^-12 。

這種整數(shù)長度m不包括符號位的Q格式主要是TI公司的DSP在使用，ARM公司也有一種類似的Q格式，但是它的整數(shù)長度m是包含符號位的。表示方式的不同不是什么大不了的事，只要是使用過程中確定好了就行，為此你甚至也可以自己創(chuàng)造一套定點數(shù)表示方式（只要不怕沒人用就行，嘿嘿）。

S表示法

S表示法的一般形式是：

Sm.n

其中S表示這是一個有符號的定點數(shù)，m表示整數(shù)位數(shù)（m不包括符號位），n表示小數(shù)位數(shù)。這種方法其實跟Q格式很像，只不過它的表示無符號定點數(shù)的方法不是在前面加 U ，而是去掉 S，像這樣：

m.n

例如「 2.4 」表示的就是一個整數(shù)位數(shù)為2，小數(shù)位數(shù)為4的無符號定點數(shù)。

總結(jié)

總的來說，用定點數(shù)表示的小數(shù)，不僅數(shù)值的范圍表示有限，而且其精度也很低。要想解決這 2 個問題，人們就提出了使用「浮點數(shù)」的方式表示數(shù)字，關(guān)于浮點數(shù)的表示方法，我們會在下一篇文章進行講解。

定點數(shù)和浮點數(shù)都可以表示小數(shù)，而定點數(shù)的精度固定，表現(xiàn)范圍比較有限；但是，定點數(shù)在硬件上比較容易實現(xiàn)，在實際的數(shù)據(jù)算法中，定點數(shù)運算效率比浮點數(shù)的運算效率高很多，同時定點數(shù)使用的資源也比較少。因此，定點數(shù)被廣泛地應用在數(shù)字信號處理的各種應用場景中。

1. 定點數(shù)是在計算機中表示數(shù)字的一種方式，它既可以表示整數(shù)，也可以表示小數(shù)

2. 在固定 bit 下，約定小數(shù)點的位置，然后把整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換為二進制，就是定點數(shù)的結(jié)果

3. 受限于小數(shù)點的位置，用定點數(shù)表示小數(shù)時，數(shù)值的范圍和小數(shù)精度是有限的

4. 在現(xiàn)代計算機中，定點數(shù)通常用來表示整數(shù)，對于高精度的小數(shù)，通常用浮點數(shù)表示